Matematika Untuk Pegawai Pemerintah

Aristoteles berpendapat bahwa matematika dimulai oleh para pendeta di mesir, karena disan golongan seperti pendeta diizinkan untuk memiliki waktu luang ( Metaphysros 981b23-24).
Herodatus bagaimanapun juga percaya bahwa geometri (ilmu Ukur) tercipta karena adanya banjir tahunan disungai nil yang mengharuskan pemerintah menetapkan batas – batas baru dari tanah dan menghitung kembali luas tanah yang harus kena pajak, Oleh karena itu , Demokritus menyebut ahli matematika dari mesir sebagai “ Pembentang tali “ .
Dari pandangan filosofit tersebut, orang orang mesir memegang pendapat matematika adalh sumber kekuatan Tuhan / Dewa hal itu telah diberikan pada mereka oleh Tuhan / Dewa Thoth ( lihat phaedrus plato 274 c-d). Dalam buku ini, kita akan menemui sebuah pandangan yang disebut Aristotalisme ( paham aristoteles), yang memandang matematika Secar naik dari manusia sebagai mahluk hewani, dan pandangan yang lain yang tersebut platolisme ( paham plato), yang memandang matematika berasal dari Tuhan / Dewa.


Papyrus Moscow

Satu satunya sumber informasi dalam matematika mesir kuno adalah matematika moskow Papyrus dan matematika Rhind papyrus, Matematika moskow Papyrus telah tercatat sejak tahu 1850 SM, Sewaktu Abraham V.S Golenishchev memperolehnya di tahu 1893 dan membawanya kemoskow.
Permasalahan yang paling menarik dari matematika moskow papyrus dalah masalah 14. Hal tersebut mengenai perhitungan volume dari sebuah limas, dengan menggunakan rumus yang benar, limas adalah sebuah piramida dengan potongan yang sama pada puncaknya. Jika limas tersebut adalah limas dengan alas persegi dan sisi alasnya adalah a dan garis yang menghubungkan alas dengan puncak limas adalah sisi b dan jika tingginya adalah h , mereka orang orang mesir kuno menyatakan volume dari limas adalah : h (a2+ ab + b2)
3

Catatan, Jika b=0, kita akan menyatakan rumus volume piramida dengan alas persegi yaitu a2x h
3

Kita, tidak tahu bagaimana orang orang mesir menemukan rumus ini, mungkin dengan hanya mencoba coba dan seatu kesalahan .

PAPYRUS RHIND

Matematika papyrus Rhind adalah salinan dari sebuah rata rata krja sebelumnya , Matematika papyrus rhind disalin dari seseorang penulis yang bernama Ahmose ditahun 1650 SM. Dimana pada waktu itu, Joseph menjadi gurbenur di mesir. Alexander Henry Rhind memperolehnya di luxor, Mesir ditahun 1858 dan kemudian membelinya dimuseum inggris pad tahun 1865.
Matematika Rhind papyrus diperkenalkan dengan menjanjikan pembaca melalui kalimat berikut, “ Dengan mempelajari semua hal yang baik, semua wawasan akan tetap ada dan pengetahuan dari rahasia yang tersembunyi, akan terungkap. Pada faktanya, hal ini merupakan deretan pemecahan masalah matematika dasar, sebuah garis besar houm untuk penulis yang bercita cita tinggi, Penulis tersebut harus dapat menghitung dengan pasti berap banyak batu bata yang dibutuhkan untuk membangun jalan dengan kemiringan tertentu dan berapa banyak papan roti yang dibutuhkan untuk memberi makan budak pekerja dan sebagainya.

` untuk mengalikan 70 dengan 13, orang mesir akan mengerjakannya sebagai berikut :
Kolom I Kolom II
X 2 : 2
70 x 13 70 13 → dikurangi 1 dahulu
140 6
280 3 → di kurangi 1 dahulu
560 1
Untuk dapat memperoleh hasilnya, angka angka yang berada di kolom I yang berdampingan dengan angka yang ganjil pada kolom II, di jumlahkan.

Jadi , 70 X 13 = 70 + 280 + 560 = 910
( lihat table)

Pada umunya, cara ini menggunakan 2 kolom, tiap kolom diawali oleh salah satu pengali. Isi dikolom pertama adalh dikalikan 2, sementara itu, isi dikolom kedua adalah dibagi 2 ( dengan mengurangi 1 terlebih dahulu pada angka ganjil ). Yang berangka ganjil, di tambahkan ( metode ini bekerja karena isi yang berupa angka ganjil di kolom kedua sesuai dengan isi di kolom pertama dalam skala 2 pada pengali kedua).
Matematika papyrus Rhind menunjukan kita bagaimana orang orang mesir membagi, Mengerjakan akar kuadrat dan memecahkan persamaan linier, dengan menggunakan rumus 4 x r2 untuk menghitung luas lingkaran ( Memberikan 3,16 sebagai perkiraan untuk ) dan mereka telah melakukan pekerjaan yang bagus untuk kelangsungan aritmatika dengan 10 istilah, dengan penjumlahan 10 dan dengan umum .









PECAHAN

Dari matematika papyrus Rhind, kita belajar bahwa orang orang mesir kuno menyatakan semua pecahan ( kecuali ) sebagai jumlah dari bagian pecahan yang jelas ( di mana, pecahan dengan bentuk adalah bilangan bulat positif). Jadi, mereka menulis dengan, + , dan dengan, + + +
Ditahun 1880, J.J Syvester membuktikan bahwa pecahan apa saja yang jelas, dapat di tulis sebagai jumlah dari bagian pecahan yang tepat. Hal ini sudah pasti benar ketika pembilang a = 1. Mungkin ini juga benar untuk pecahan dengan pembilang < a ( dengan a > 1). Biarkan , menjadi bagian pecahan terbesar yang kurang dari dari .

Dengan demikian : < <

Sehingga didapat : 0 < aq – b < a dengan = +

Dengan pengenalan hipotensis, adalah jumlah dari bagian pecahan yang sesuai ( berasal dari - ). Lagi pula, tak satu pun dari , sejak, >

Hal ini melengkapi bukti, dan memberikan kita sebuah cari untuk menemukan persamaan jumlah dari bagian pecahan yang sesuai terhadap pecahan yang jelas yang telah diberikan .
Sebagai contoh, untuk menyatakan berdasarkan cara orang orang mesir, kita mengumpulkan pada pembilang terdekat, misalnya 3 dan merupakan bagian pecahan tersbesar yang kurang dari . Sehingga kita akan mendapati. - =

Bagian pecahan terbesar yang kurang dari adalah dan sudah pasti kita akan dapat - =

Sehinngga = + +

Perlu dicatat pula bahwa hal tersebut bukanlah merupakan satu satunya kemungkinan dari jawaban yang benar. Sebagai contoh, kita juga bisa memperoleh
= + +

Akhir akhir ini, Paul Erdos menunjukan sebuah permasalahan yang memperlihatkan bahwa jika n adalah sebuah pembilang > 4. Dan adalah jumlah dari ketiga bagian pecahan yang sesuai. Masalah ini belum dapat dipecahkan, Meskipun ada beberapa rumusan yang telah di hasilkan.

 = +
 = + +
 = + +
 = + +




Ketidak Benaran Piramida Terbesar

Berbagi usaha telah dilakukan dengan mrnggunakan dimensi dari sebuah piramida besar ( dibangun sekitar tahun 2600 SM) untuk menggambarkan kesimpulan tentang matematika orang orang mesir.
Sebagai contoh telah diklaim bahwa setengah dari keliling alas piramida adalah dengan membagi berdasarkan tingginya, yang sebanding dengan 3,14. Dengan ini kita dapat menganggap bahwa orang orang mesir telah mengetahui nilai dari hingga dua angka dibelakang koma sejak tahun 2600 SM. Bertentangan dengan pemikiran tersebut, kita dapat mengutarakan berbagai pertimbangan pertimbangan sebagai berikut :
1) Selama berabad-abad , manusia telah mengambil batu dari piramida terbesar untuk kepentingan mereka sendiri, Permukaan asli dari piramida terbesar itu jadi menghilang dan kita tidak punya cara lain untuk mengetahui dimensi aslinya dalam dua desimal secara tepat.
2) Disana ada lusinan perbandingan perhitungan yang diberikan untuk dimensi dari sebuah piramida, hal ini tidak mengherankan jka salah satu darinya dapat mendekati nilai
3) Dalam matematika papyrus Rhind, nilai yang untuk adalah 3,16. Jika orang orang mesir tahu pendekatan yang lebih baik untuk telah ditemukan pada tahun 1650 SM. ( Martin Gardner memberikan perhitungan yang baik dari ketidak benaran piramida terbesar dalam “ Fads and fallacies the name of science “ )



Latihan !!!

1. Buktikan bahwa volume dari piramida adalah x L alas x Tinggi. Jelaskan dengan menggunakan rumus mesir kuno untuk volume limas !!!
2. Tentukan hasil untuk 1359 x 2578, dengan orang mesir !
3. Carilah jumlah untuk dengan pecaha

Jawaban !!!

1. Orang orang mesir kuno menyatakan rumus dari volume sebuah limas adalah
V = h x (a2 + ab + b2) = x L alas x Tinggi
3

Rumus tersebut dapat kita jabarkan sebagai berikut :

Limas merupakan bangun ruang beraturan yang selimutnya terdiri dari bidang bidang datar berbentuk segitiga yang mana titik titik sudut dari selimut limas saling bertemu pada satu titik yang disebut puncak dan limas .
Oleh karena itu, dengan mendimensikan limas kedalam sebuah kubus, kita dapat memperbandingkan antara volume kubus dengan volume limas yang berbentuk dari kubus tersebut sehingga akan didapatkan rasio dari volume limas.

Analisa :








Dengan menarik keempat garis diagonal ruang pada kubus tersebut, kita akan memperoleh 6 buah limas dalam sebuah kubus dengan sisi a?dari perpotongan keempat garis tersebut sehingga dapat kita peroleh :
 V bangun ruang = L alas x t
 V kubus = a2 x a = a3
 V sebuah limas dalam kubus


Perhatikan Limas ABCDW Perhatikan ACW







 AC = diagonal sisi =
 AW = AG
AG = diagonal ruang =
AW = AG =
 h =
=
=
=
h =

Sehingga, V, sebuah limas ABCDW = L alas x t
= a x a
= a
Kemudian kita perbandingankan , volume kubus dengan volume eanam buah limas yang terdapat dalm satu buah kubu.

V kubus = V enam buah limas
a3 = 6 x a3
= 3 a3
V satu buah limas = a3
V limas = V kubus
Jadi, rasio volume satu buah limas dengan volume sebuah kubus adalah Sehingga volume. Limas = x L alas x tinggi














Analisa Untuk (a2 + ab + b2) / Luas alas

Orang orang mesir kuno menyatakan rumus volume sebuah piramida dengan , setelah kita dapatkan rasio untuk volume piramida kemudian kita akan mencoba menganalisa tentang luas alas ( a2 + ab + b2 ). Dimisalkan terdapat sebuah segi empat dengan sisi a dan b.
b a a b
 K = 2 ( a + b )
K2 = 4 ( a + b ) ( a + b )
K2 = a2 + 2 ab + b2
K2 - ab = a2 + ab + b2
L alas dengan bentuk persegi panjang = a2 + ab + b2 karena alas dari sebuah piramida adalah persegi maka b = 0, sehingga didapat rumusan volume.


2. Cara orang mesir untuk mengalikan1359 dengan 2578 adalah sebagai berikut:

1359 x 2578
Kolom 1 Kolom 2
X 2 : 2
1359 2578
2718 1289 → dikurangi 1 dahulu
5436 644
10872 322
21744 161 → dikurangi 1 dahulu
43488 80
86976 40
173952 20
347904 10
695808 5 → dikurangi satu dahulu
1.391.616 2
2.783.232 1

Analisa untuk table di ats, pada kolom pertama, rumusan yang dimasukan adalah dikalikan dua dan di hubungkan dengan kolom dimana rumusan yang dimaksukan adalah di bagi 2 ( Khususnya untuk bilangan ganjil pada kolom kedua, di kurangi 1 terlebih dahulu baru dibagi 2).
Untuk memperoleh hasil dari 1359 x 2578 dengan cara orang mesir, angka angka yang tberada di kolom 1 yang berdampingan dengan angka yang ganjil di kolom 2, di jumlahkan.
Seperti, 2718 + 21744 +695808 +2.783.232 =3.503.502
Jadi, hasil pengalian 1359 x 2578 = 3.503.502.


3. Bagian pecahan untuk adalah :
0 =

q adalah bilangan bulat positif dan sehingga > 0
ini menjelaskan bahwa untuk memperoleh bagian pecahan dari , yang besarnya kurang dari dan hasil pengurangannya menghasilkan bilangan positif.
 =
 =
 =
Jadi bagian pecahan untuk adalah




Selain itu, kita juga dapat memperoleh bagian pecahan dari dengan bilangan yang berbeda .


Jadi bagian pecahan untuk adalah