Problem 3n+1

Teori bilangan masih saja terus memikat. Banyak problem terbuka di dalamnya yang walaupun mudah dimengerti tetapi sulit untuk dipecahkan, dan tidak sedikit yang "menggemparkan" komunitas matematika. Sebut saja satu yang terkenal, yakni The Fermat's Last Theorem yang dikemukakan oleh Piere de Fermat sekitar tahun 1637. Ia mengklaim dapat menunjukkan bahwa persamaan xn + yn = zn, untuk n 3 tidak mempunyai solusi x, y, dan z yang bulat. Namun, hal yang membuat penasaran banyak orang adalah bahwa ia tidak pernah mempublikasikan bukti dari pernyataan tadi. Baru setelah 358 tahun kemudian (sekitar bulan Mei 1995), Andrew Wiles dari Princeton University berhasil menunjukkan pernyataan tadi.
Salah satu problem yang hingga kini masih open (belum terpecahkan) adalah apa yang disebut orang sebagai problem 3n + 1. Problem ini telah cukup menggelitik banyak orang, baik dari kalangan matematikawan maupun dari disiplin lain. Bahkan hampir bisa digaransi bahwa siapa saja yang berkenalan dengan problem ini pasti mereka akan "larut" dan mencoba memelototi problem ini dengan saksama, dan kemudian mencoba-cobanya yang kemudian pada akhirnya tidak sedikit yang "kecewa" lantaran tidak mendapat hasil apa-apa.
Apa itu problem "3n + 1"? Secara ringkas, dapat dijelaskan sebagai berikut:
"Ambil bilangan asli sembarang, dan sebut dengan n. Kemudian, kalikan 3 dan tambah dengan 1 bila n ganjil, atau bagi dengan 2 bila n genap. Maka, bila proses ini diulang terus-menerus, apakah anda akan selalu mendapatkan (berakhir pada) bilangan 1 ?"
Diduga kuat bahwa berapa pun nilai n diambil, proses ini akan selalu berakhir pada bilangan 1. Agar jelas, silakan simak beberapa contoh berikut: Mulai dengan 5, didapat 16, kemudian 8, 4, 2, dan 1. Bila kita mulai dengan 13, didapat 40, kemudian 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, dan 1. Tentu tidak sukar menguji kebenaran dugaan tersebut untuk bilangan-bilangan kecil. Bahkan Prof Nabuo Yoneda dari Universitas of Tokyo (1983) telah mengecek kesahihan dari dugaan (conjecture) di atas dengan bantuan komputer untuk semua bilangan n kurang dari tiga trilyun (3 x 1012). Apa hasilnya? Ternyata benar. Semua bilangan-bilangan itu dengan proses 3n + 1 Selalu kembali ke bilangan 1.
Tentu saja, Kebenaran matematika selalu harus didukung dengan bukti matematis dan bukan hanya dengan sejumlah kenyataan numerik yang kadangkala bisa membawa pada kesimpulan yang salah. Littlewood's Theorem adalah salah satu yang sangat terkenal untuk itu. Yaitu suatu teorema yang mempertanyakan tanda (+/-) dari ekspresi
x dt - (x), di mana (x) menyatakan banyaknya
bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x. Semula, banyak orang mengira bahwa ekspresi tersebut selalu benilai positif. Hal ini karena berdasar pada data numerik bahwa bentuk integral di atas selalu lebih besar dibanding fungsi (x) untuk semua x 10 12. Akan tetapi, dugaan itu diketahui tidaklah benar setelah ada seorang yang berhasil memberikan bukti matematis bahwa perubahan tanda pertama dari ekspresi tersebut terjadi pada bilangan 1,65x10 1165. Dan bahkan lebih kuat lagi dinyatakan bahwa ekspresi tersebut ternyata berubah tanda tak hingga kali jumlahnya.
Jadi, dengan keberhasilan Yoneda menunjukkan kebenaran konjektur (dugaan) di atas untuk semua bilangan kurang dari 3 x 10 12 itu masihlah belum cukup untuk membenarkan dugaan di atas secara umum. Sehingga, mau tidak mau, kita harus mengonstruksi bukti matematis jika benar atas mencari contoh penyangkal (counter-example) bila ingin menunjukkan dugaan itu salah.
Bilangan a di sini dikatakan counter-example atas dugaan "3n + 1" bila bilangan a ini tidak akan kembali ke bilangan 1 seandainya dilakukan proses 3n+1 seperti terkutip di atas sebanyak tak hingga kali. Ada dua bentuk dari counter-example atas dugaan 3n + 1, yaitu: (1) Adanya bilangan a yang membentuk barisan a, b, c,..., tanpa batas bila proses 3n + 1 di atas dilakukan berulang-ulang. Dalam kasus terakhir ini, Terras dan Garner (1981) telah menunjukkan bahwa kalau ada counter-example yang membentuk siklus, maka jumlah angka penyusun siklus tersebut haruslah paling sedikit 500 ribu angka dan tidak ada satu pun angka yang kurang dari 3 trilyun besarnya.
Usaha untuk membangun bukti juga tak kalah surut dari perhatian banyak ahli yang hingga saat ini beberapa di antaranya masih "kegilaan" untuk mencoba memastikan benar tidaknya dugaan tersebut. Beberapa studi telah juga berhasil menunjukkan adanya hubungan yang kuat antara problem "3n + 1" dengan problem lainnya seperti persamaan Diophantine dan teori ergodik. Kapan problem "3n + 1" dapat terpecahkan? Yang jelas, belum ada jawaban yang jelas. Mungkin besar kata Prof Paul Erdos, pakar di Teori Graf, bahwa "Mathematics is not yet ready for such problems".