Konsep Dasar Matematika Memang Sederhana

SAYA sangat tertarik dengan tulisan Saudara Wahyu Kris Aries W, mahasiswa teknik sipil Universitas Kristen Cipta Wacana Malang, pada rubrik IPTEK Kompas (9/11), dengan judul Matematika adalah Sederhana. Walaupun berbeda generasi, mudah-mudahan saya tidak bisa merasa malu mengaku sama dengan Saudara Wahyu yaitu sebagai peminat matematika, paling tidak zaman dulu.
Saya setuju dengan Saudara Wahyu bahwa matematika itu sebenarnya berawal dari konsep yang sederhana. Tetapi, saya melihat tidak sedikit mahasiswa di fakultas teknik yang tidak menguasai konsep dasar matematika, sehingga tidak bisa memahami maksud rumus, apalagi menggunakannya. Hal tersebut saya kira karena pada waktu di sekolah menengah (atau bahkan masih di sekolah dasar) mereka menemukan matematika itu tiba-tiba saja sebagai sesuatu yang tidak mudah.
Untuk mendukung pendapat Saudara Wahyu, saya ikut mencoba menyelesaikan soal yang dikutip oleh Saudara Wahyu dari salah satu soal yang pernah muncul pada seleksi IMO (Olimpiade Matematika Internasional), yaitu mencari jumlah 7 sudut-sudut ujung bangunan yang saya sebut saja bintang segi-7. Tentu saja saya berusaha menggunakan konsep yang lebih sederhana, dan kebetulan dari hasilnya sekaligus dapat dibuat "rumus" untuk menghitung jumlah sudut-sudut ujung bintang segi-n. Rumus tersebut tentunya sudah pernah dibuat oleh orang lain sebelumnya, hanya saja saya belum pernah melihatnya. Rumus yang saya maksud adalah:
Jumlah sudut-sudut ujung bintang
segi-n = (n-4) x 180o
di mana n paling kecil = 5 dan semuanya bilangan ganjil yaitu: 5, 7, 9, 11, .....
Untuk n yang bernilai genap, misalnya 6, 8, 10, dan seterusnya, rumus tersebut dapat juga digunakan, tapi gambar bintangnya tidak sama dengan bintang yang sedang dibahas. Untuk bintang segi 6 misalnya, gambarnya merupakan gabungan (perpotongan) 2 buah segi-tiga, dan bintang segi-8, merupakan gabungan 2 buah segi-4. Sedangkan untuk n yang ganjil, dapat dibuat dengan menarik garis-garis patah yang ujung dan pangkalnya bertemu, tanpa mengangkat pensil dari kertas.
Berbeda dengan cara yang dibuat oleh Saudara Wahyu, yang pendekatannya melalui jumlah sudut-sudut segi-4 (yaitu 360o), untuk menghitung jumlah sudut-sudut ujung bintang segi-7 (sudut A1+A2+A3+ A4+A5+A6+A7), saya menggunakan pendekatan melalui jumlah sudut-sudut segi-3 (yaitu 180o). Dengan pendekatan jumlah sudut-sudut segi-3, maka penghitungannya akan melibatkan seluruh sudut yang ada yang dibentuk oleh pertemuan atau perpotongan garis. Dengan melibatkan seluruh sudut, maka perhitungannya bersifat general sehingga dapat ditarik suatu rumus.
Kita perhatikan kembali bintang segi-7 yang dikutip oleh Saudara Wahyu dari salah satu soal seleksi IMO, sebagai berikut:
Persoalan: Jumlah sudut A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7=?
Dalam menyelesaikan persoalan ini digunakan tiga langkah sebagai berikut:
Pertama, menghitung total seluruh sudut 7 buah segi-3 yang membentuk bintang, yang tentunya akan didapat = 7 x 180o = 1260o.
Kedua, menghitung total seluruh sudut-sudut alas 7 buah segi-3, yang akhirnya akan
didapat = 4 x 180o = 720o.
Ketiga mengurangkan hasil langkah pertama dengan langkah kedua, yang akhirnya akan didapat = (7-4)x180o=3x180o=540o. Jadi jumlah sudut-sudut ujung bintang segi-7 tersebut = 540o dan dapat ditarik kesimpulan = (n-4) x 180o.
Konsep dasar yang digunakan:
1. Jumlah sudut-sudut sebuah segi-3 adalah 180o, dan
2. Besar sudut garis lurus adalah 180o
Penyelesaiannya dapat kita mulai dengan memperhatikan salah satu ujung bintang yang merupakan segi-3 sebagai berikut:
Dari gambar di atas diketahui:
Jumlah sudut A1+C1+C2 = 180o yaitu jumlah sudut-sudut dalam sebuah segi-3 sehingga
A1 = 180o - C1 - C2.
Jumlah sudut C1+B7 = 180o (sudut garis lurus), sehingga C1 = 180o - B7.
Jumlah sudut C2+B1 = 180o (sudut garis lurus), sehingga C2 = 180o-B1.
Dari tiga persamaan di atas dapat dikaitkan sudut A1 dan sudut B1 dan B7 sebagai berikut:
A1 = 180o-C1-C2.
= 180o-(180o-B7)-(180o-B1)
= B1+B7-180o
Dengan cara yang sama didapat:
A1 = B1+B7-180o
A2 = B1+B2-180o
A3 = B2+B3-180o
A4 = B3+B4-180o
A5 = B4+B5-180o
A6 = B5+B6-180o
A7 = B6+B7-180o
Apabila ketujuh persamaan di atas kita jumlahkan, akan didapat:
A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7 =
2x(B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7)-7x180o
Sedangkan diketahui bahwa
(B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7) =
(7-2)x180o = jumlah sudut segi-7.
Dengan demikian:
A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7 = 2x(7-2)x180o-7x180o
= (7-4)x180o
= 540o
Hasilnya sama dengan yang dihitung oleh Saudara Wahyu.
Hanya saja dari hasil perhitungan di atas, bila 7 diganti dengan n maka didapat 'rumus' jumlah sudut-sudut ujung bintang segi-n = (n-4)x180o.
Dengan cara di atas, untuk bintang segi-9 yang ditawarkan oleh Saudara Wahyu untuk dihitung jumlah sudut-sudut ujungnya, maka akan didapat = (9-4)x180o = 900o. Demikian juga untuk n = 11, 13, 15 dan seterusnya dapat digunakan (n-4)x180o.
Sebenarnya apabila kita mau menggunakan 'rumus' atau ketentuan yang sudah baku, yang sudah dibuktikan oleh orang sebelumnya, kita tidak perlu sibuk menghitung seperti di atas.
Rumus atau kepastian yang sudah baku tersebut adalah:
Jumlah sudut-sudut luar suatu
segi-n = 360o (tentu saja n3.)
Untuk permasalahan yang kita sedang selesaikan, coba kita lihat sudut-sudut luar segi-7 sebagai berikut:
Jumlah sudut
C1+C3+C5+C7+C9+C11+C13 = 360o............(1)
Bila diperlukan pembuktian bahwa jumlah sudut-sudut luar segi-n = 360o maka dapat dibuktikan sebagai berikut:
B1+C3 = 180o
B2+C5 = 180o
B3+C7 = 180o
B4+C9 = 180o
B5+C11 = 180o
B6+C13 = 180o
B7+C1 = 180o
Bila ketujuh persamaan di atas ditambahkan
didapat:
(B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7)+
(C1+C3+C5+C7+C9+C11+C13) = 7x180o,
sedangkan (B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7) = (7-2)x180o (jumlah sudut segi-n)
sehingga:
C1+C3+C5+C7+C9+C11+C13 = 7x180o-(7-2)x180o
= 2x180o = 360o
Demikian juga dari gambar berikut:
didapat sudut-sudut luar segi-7 yaitu
C2+C4+C6+C8+C10+C12+C14 = 360o......(2)
Sehingga jumlah sudut alas 7 buah segi-3 = (1)+(2)
(C1+C2+C3+C4+.......C13+C14) = 360o+360o
= 720o
= 4x180o ....... (3)
Sedangkan luas 7 buah segi-3 ujung-ujung bintang segi-7 tadi adalah 7x180o ..... (4)
Dengan demikian didapat:
Jumlah sudut-sudut:
A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7= (4)-(3)
= 7x180o-4x180o
= (7-4)x180o
= 3x180o = 540o
Jika 7 diganti dengan n didapat rumus untuk bintang segi-n maka jumlah sudut-sudut ujung bintang tersebut = (n-4)180o